How do you prove #cos(x+y)cos(x-y)= cos^2x - sin^2y#?

Question

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Answer 1 · 2016-06-04T12:20:00

#cos(x+y) = cos\ x* cos\ y - sin\ x* sin\ y#

#cos(x-y) = cos\ x*cos\ y + sin \ x*sin\ y#

#sin^2 x +cos^2\ x= 1#

#cos(x+y) = cos\ x* cos\ y - sin\ x* sin\ y#

#cos(x-y) = cos\ x*cos\ y +sin \ x*sin\ y#

#cos(x+y)xxcos(x-y) #

# = (cos\ x* cos\ y - sin\ x* sin\ y) xx (cos\ x*cos\ y + sin \ x*sin\ y)#

# = (cos^2\ x* cos^2\ y + cos\ x*cos \yxxsin\ x*sin\ y - sin\ x* sin \yxxcos\ x*cos \y -sin^2\ x*sin^2\ y)#

# = (cos^2\ x* cos^2\ y - cancel(cos\ x*cos \yxxsin\ x*sin\ y )+ cancel(sin\ x* sin \yxxcos\ x*cos \y )-sin^2\ x*sin^2\ y)#

#= cos^2\ x* cos^2\ y -sin^2\ x*sin^2\ y#

#" Substitute " cos^2\ y " with " (1-sin^2y)#

#" Substitute " sin^2\ x " with " (1-cos^2x)#

#= cos^2\ x* (1- sin^2\ y )-(1-cos^2\ x)*sin^2\ y#

#= cos^2\ x- cos^2\ x * sin^2\ y - sin^2\ y +cos^2\ x * sin^2\ y#

#= cos^2\ x- cancel(cos^2\ x * sin^2\ y) - sin^2\ y + cancel(cos^2\ x * sin^2\ y)#

#= cos^2\ x - sin^2\ y #