How do you integrate #int x^2/e^(2x)# by integration by parts method?

Question

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Answer 1 · 2017-02-18T12:31:07

The answer is #=-((2x^2+2x+1))/4e^(-2x)+C#

#intu'vdx=uv-intuv'dx#

We must calculate #intx^2/e^(2x)dx=intx^2e^(-2x)dx#

Let #u'=e^(-2x)#, #=>#, #u=e^(-2x)/(-2)=-1/2e^(-2x)#

and #v=x^2#, #=>#, #v'=2x#

Therefore,

#intx^2/e^(2x)dx=-1/2x^2e^(-2x)-int-1/2*2x*e^(-2x)dx#

#=-1/2x^2e^(-2x)+intxe^(-2x)dx#

In order to calculate #intxe^(-2x)dx#, we do the integration by parts a second time

Let #u'=e^(-2x)#, #=>#, #u=e^(-2x)/(-2)=-1/2e^(-2x)#

and #v=x#, #=>#, #v'=1#

So,

#intxe^(-2x)dx=-1/2xe^(-2x)-int-1/2e^(-2x)dx#

#=-1/2xe^(-2x)+1/2inte^(-2x)dx#

#=-1/2xe^(-2x)+1/2*e^(-2x)/(-2)#

#=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)#

Putting it all together

#intx^2/e^(2x)dx=-1/2x^2e^(-2x)-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C#

#=-((2x^2+2x+1))/4e^(-2x)+C#