Prove that (tanA/(1-cotA))+(cotA/(1-tanA))=secA.cosecA+1?

#((tanA)/(1-cotA))+((cotA)/(1-tanA))#

#=((sinA/cosA)/(1-(cosA/sinA)))+((cosA/sinA)/(1-(sinA/cosA)))#

#=((sinA/cosA)/((sinA-cosA)/sinA) + (cosA/sinA)/((cosA-sinA)/cosA) )#

#=(sinA)^2 / (cosA(sinA-cosA))-(cosA)^2/(sinA(sinA-cosA)) #

#=1/(sinA-cosA) * [(sinA)^2/cosA-(cosA)^2/sinA] #

#=1/(sinA-cosA) * [((sinA)^3-(cosA)^3)/(sinA*cosA)] #

#=1/cancel((sinA-cosA)) * [(cancel((sinA-cosA))((sinA)^2+(cosA)^2+sinA*cosA))/(sinAcosA)]#

Replace #sin^2A + cos^2A = 1#

#=(1+sinA*cosA)/(sinA*cosA) #

#=cosecA * secA +1 #

hope you can get it!!

#LHS=(tanA/(1-cotA))+(cotA/(1-tanA))#

#=(tanA/(1-cotA))-(cot^2A/(-cotA+cotAtanA))#

#=(tanA/(1-cotA))-(cot^2A/(1-cotA))#

#=1/(1-cotA)*(1/cotA-cot^2A)#

#=((1-cotA)(1+cotA+cot^2A))/((1-cotA)cotA)#

#=(csc^2A+cotA)/cotA#

#=csc^2A/cotA+cotA/cotA#

#=1/sin^2AxxsinA/cosA+1#

#=1/(sinAxxcosA)+1#

#=secA*cosecA+1=RHS#

We need

#tanA=sinA/cosA#

#cotA=cosA/sinA#

#a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)#

#secA=1/cosA#

#cscA=1/sinA#

Therefore,

#LHS=tanA/(1-cotA)+cotA/(1-tanA)#

#=((sinA/cosA)/(1-cosA/sinA))+((cosA/sinA)/(1-sinA/cosA))#

#=((sinA/cosA)/((sinA-cosA)/sinA))-((cosA/sinA)/((sinA-cosA)/cosA))#

#=((sin^2A)/(cosA(sinA-cosA)))-((cos^2A)/(sinA(sinA-cosA)))#

#=(sin^3A-cos^3A)/(cosAsinA(sinA-cosA))#

#=(cancel(sinA-cosA)(sin^2A+sinAcosA+cos^2A))/((cosAsinA)cancel(sinA-cosA))#

#=(1+sinAcosA)/(cosAsinA)#

#=1/(cosAsinA)+1#

#=secAcscA+1#

#=RHS#

#QED#