# How do you integrate int x^3 sqrt(-x^2 + 8x-9)dx using trigonometric substitution?

#### Explanation:

Given integral

$\setminus \int {x}^{3} \setminus \sqrt{- {x}^{2} + 8 x - 9} \setminus \mathrm{dx}$

$= \setminus \int {x}^{3} \setminus \sqrt{- \left({x}^{2} - 8 x + 16\right) + 16 - 9} \setminus \mathrm{dx}$

$= \setminus \int {x}^{3} \setminus \sqrt{7 - {\left(x - 4\right)}^{2}} \setminus \mathrm{dx}$

Let $x - 4 = \setminus \sqrt{7} \setminus \sin \setminus \theta \setminus \implies \mathrm{dx} = \setminus \sqrt{7} \setminus \cos \setminus \theta \setminus d \setminus \theta$

$= \setminus \int {\left(\setminus \sqrt{7} \setminus \sin \setminus \theta + 4\right)}^{3} \setminus \sqrt{7 - 7 \setminus {\sin}^{2} \setminus \theta} \setminus \sqrt{7} \setminus \cos \setminus \theta \setminus d \setminus \theta$

$= \setminus \int {\left(\setminus \sqrt{7} \setminus \sin \setminus \theta + 4\right)}^{3} \left(\setminus \sqrt{7} \setminus \cos \setminus \theta\right) \setminus \sqrt{7} \setminus \cos \setminus \theta \setminus d \setminus \theta$

$= 7 \setminus \int \left(7 \setminus \sqrt{7} \setminus {\sin}^{3} \setminus \theta + 84 \setminus {\sin}^{2} \setminus \theta + 48 \setminus \sqrt{7} \setminus \sin \setminus \theta + 64\right) \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \setminus d \setminus \theta$

$= 7 \setminus \int \left(7 \setminus \sqrt{7} \setminus {\sin}^{3} \setminus \theta \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta + 84 \setminus {\sin}^{2} \setminus \theta \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta + 48 \setminus \sqrt{7} \setminus \sin \setminus \theta \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta + 64 \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta\right) \setminus d \setminus \theta$

$= 7 \setminus \int \left(7 \setminus \sqrt{7} \left(1 - \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta\right) \setminus \sin \setminus \theta \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta + 21 {\left(2 \setminus \sin \setminus \theta \setminus \cos \setminus \theta\right)}^{2} + 48 \setminus \sqrt{7} \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \setminus \sin \setminus \theta + 64 \left(\frac{1 + \setminus \cos 2 \setminus \theta}{2}\right)\right) \setminus d \setminus \theta$

$= 49 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \left(\setminus {\cos}^{2} \setminus \theta - \setminus {\cos}^{4} \setminus \theta\right) \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 147 \setminus \int \setminus {\sin}^{2} 2 \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 336 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 224 \setminus \int \left(1 + \setminus \cos 2 \setminus \theta\right) \setminus d \setminus \theta$

$= 49 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \left(\setminus {\cos}^{2} \setminus \theta - \setminus {\cos}^{4} \setminus \theta\right) \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 147 \setminus \int \setminus {\sin}^{2} 2 \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 336 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta + 224 \setminus \int \left(1 + \setminus \cos 2 \setminus \theta\right) \setminus d \setminus \theta$

$= 49 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \left(\setminus {\cos}^{4} \setminus \theta - \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta\right) \left(- \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta\right) + 147 \setminus \int \setminus \frac{1 - \setminus \cos 4 \setminus \theta}{2} \setminus d \setminus \theta - 336 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \left(- \setminus \sin \setminus \theta \setminus d \setminus \theta\right) + 224 \setminus \int \left(1 + \setminus \cos 2 \setminus \theta\right) \setminus d \setminus \theta$

$= 49 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \left(\setminus {\cos}^{4} \setminus \theta - \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta\right) \setminus \setminus d \left(\setminus \cos \setminus \theta\right) + \frac{147}{2} \setminus \int \left(1 - \setminus \cos 4 \setminus \theta\right) \setminus d \setminus \theta - 336 \setminus \sqrt{7} \setminus \int \setminus {\cos}^{2} \setminus \theta \setminus \setminus d \left(\setminus \cos \setminus \theta\right) + 224 \setminus \int \setminus d \setminus \theta + 112 \setminus \int \setminus \cos 2 \setminus \theta \setminus d \left(2 \setminus \theta\right)$

$= 49 \setminus \sqrt{7} \left(\setminus {\cos}^{5} \setminus \frac{\theta}{5} - \setminus {\cos}^{3} \setminus \frac{\theta}{3}\right) + \frac{147}{2} \setminus \theta - \frac{147}{2} \frac{\setminus \sin 4 \setminus \theta}{4} - 336 \setminus \sqrt{7} \setminus {\cos}^{3} \setminus \frac{\theta}{3} + 224 \setminus \theta + 112 \setminus \sin 2 \setminus \theta \setminus + C$

Hope you can solve further by substituting back $\setminus \sin \setminus \theta = \frac{x - 4}{\setminus} \sqrt{7}$