# How do you integrate int 1/sqrt(3x-12sqrtx+40)  using trigonometric substitution?

$\setminus \frac{2}{3} {\left(3 x - 12 \setminus \sqrt{x} + 40\right)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{\setminus} \sqrt{3} \setminus {\sinh}^{- 1} \left(\setminus \frac{\setminus \sqrt{3 x} - 2 \setminus \sqrt{3}}{\setminus \sqrt{28}}\right) + C$

#### Explanation:

Let $\setminus \sqrt{x} = t \setminus \implies \setminus \frac{\mathrm{dx}}{2 \setminus \sqrt{x}} = \mathrm{dt} \setminus \setminus \mathmr{and} \setminus \setminus \mathrm{dx} = 2 t \setminus \mathrm{dt}$

$\setminus \therefore \setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dx}}{\setminus \sqrt{3 x - 12 \setminus \sqrt{x} + 40}}$

$= \setminus \int \setminus \frac{2 t \mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{3 {t}^{2} - 12 t + 40}}$

$= \setminus \frac{1}{3} \setminus \int \setminus \frac{\left(\left(6 t - 12\right) + 12\right) \mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{3 {t}^{2} - 12 t + 40}}$

$= \setminus \frac{1}{3} \setminus \int \setminus \frac{\left(6 t - 12\right) \mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{3 {t}^{2} - 12 t + 40}} + \frac{12}{3} \setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{3 {t}^{2} - 12 t + 40}}$

$= \setminus \frac{1}{3} \setminus \int \setminus \frac{d \left(3 {t}^{2} - 12 t + 40\right)}{\setminus \sqrt{3 {t}^{2} - 12 t + 40}} + 4 \setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{3} \setminus \sqrt{{t}^{2} - 4 t + \frac{40}{3}}}$

$= \setminus \frac{1}{3} \setminus \int \setminus \frac{d \left(3 {t}^{2} - 12 t + 40\right)}{{\left(3 {t}^{2} - 12 t + 40\right)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dt}}{\setminus \sqrt{{\left(t - 2\right)}^{2} + \frac{28}{3}}}$

$= \setminus \frac{1}{3} \setminus \frac{{\left(3 {t}^{2} - 12 t + 40\right)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1} + \frac{4}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \frac{d \left(t - 2\right)}{\setminus \sqrt{{\left(t - 2\right)}^{2} + {\left(\setminus \sqrt{\frac{28}{3}}\right)}^{2}}}$

$= \setminus \frac{2}{3} {\left(3 {t}^{2} - 12 t + 40\right)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{\setminus} \sqrt{3} \setminus {\sinh}^{- 1} \left(\setminus \frac{t - 2}{\setminus \sqrt{\frac{28}{3}}}\right) + C$

$= \setminus \frac{2}{3} {\left(3 x - 12 \setminus \sqrt{x} + 40\right)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{\setminus} \sqrt{3} \setminus {\sinh}^{- 1} \left(\setminus \frac{\setminus \sqrt{3 x} - 2 \setminus \sqrt{3}}{\setminus \sqrt{28}}\right) + C$