# Question #ec3c9

Feb 19, 2018

$I = - \frac{1}{6} \cot \left(2 {x}^{3} + 5\right) + C$

#### Explanation:

We want to solve

$I = \int {x}^{2} / {\sin}^{2} \left(2 {x}^{3} + 5\right) \mathrm{dx}$

Make a substitution $u = 2 {x}^{3} + 5 \implies \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}} = 6 {x}^{2}$

$I = \int {x}^{2} / {\sin}^{2} \left(u\right) \frac{1}{6 {x}^{2}} \mathrm{du} = \frac{1}{6} \int {\csc}^{2} \left(u\right) \mathrm{du}$

Recall $\left(\cot \left(x\right)\right) ' = - {\csc}^{2} \left(x\right)$

$I = - \frac{1}{6} \cot \left(u\right) + C$

Substitute back $u = 2 {x}^{3} + 5$

$I = - \frac{1}{6} \cot \left(2 {x}^{3} + 5\right) + C$

Feb 19, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \int \setminus \frac{{x}^{2} \mathrm{dx}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) = - \frac{1}{6} \setminus \cot \left(2 {x}^{3} + 5\right) + C .$

#### Explanation:

$\text{We would like to know [I assume you meant sin, instead of sen]:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \int \setminus \frac{{x}^{2} \mathrm{dx}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) \setminus .$

$\text{One way to start, is to make a substitution}$

$\text{Let:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad u \setminus = \setminus 2 {x}^{3} + 5. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \left(1\right)$

$\text{Compute:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad \mathrm{du} \setminus = \setminus 6 {x}^{2} \mathrm{dx} .$

$\text{Solve for" \ \ dx \ \":} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \mathrm{dx} \setminus = \setminus \frac{\mathrm{du}}{6 {x}^{2}} .$

$\text{Put" \ \ dx \ \ "back into original integral:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \int \setminus \frac{{x}^{2} \mathrm{dx}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) \setminus = \setminus \int \setminus \frac{{x}^{2}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) \setminus \cdot \frac{\mathrm{du}}{6 {x}^{2}} .$

$\text{Simplify in" \ \ x \ \ "as far as possible:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \int \setminus \frac{\textcolor{red}{\cancel{{x}^{2}}}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) \setminus \cdot \frac{\mathrm{du}}{6 \textcolor{red}{\cancel{{x}^{2}}}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \int \setminus \frac{\mathrm{du}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) .$

$\text{Express remaining integral completely in terms of" \ \ u. \ "This}$
$\text{can sometimes be difficult. But here, after recalling the}$
$\text{substitution eqn. (1), it is immediate [by design !!]:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \int \setminus \frac{\mathrm{du}}{\sin} ^ 2 \left(u\right) .$

$\text{Integrate new integral:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \int \setminus {\left(\frac{1}{\sin} \left(u\right)\right)}^{2} \mathrm{du}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \int \setminus {\left[\csc \left(u\right)\right]}^{2} \mathrm{du} .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \int \setminus {\csc}^{2} \left(u\right) \mathrm{du} .$

$\text{Recalling the basic derivative:" \ \ [ cot( \theta ) ]' = - csc^2( \theta ), "we finish the integration:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \frac{1}{6} \setminus \left[- \cot \left(u\right)\right] + C$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus - \frac{1}{6} \setminus \cot \left(u\right) + C .$

$\text{Now convert this result back into terms of" \ \ x. \ "This }$
$\text{is immediate, again using the substitution eqn. (1):}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus - \frac{1}{6} \setminus \cot \left(2 {x}^{3} + 5\right) + C .$

$\text{And this finishes the work. So we have the answer:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \int \setminus \frac{{x}^{2} \mathrm{dx}}{\sin} ^ 2 \left(2 {x}^{3} + 5\right) = - \frac{1}{6} \setminus \cot \left(2 {x}^{3} + 5\right) + C .$